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Em seus tempos de escola, a maioria de vocês que leu este livro conheceu as nobres construções da geometria de Euclides, e se lembra – talvez com mais respeito do que amor – a magnífica estrutura, na escada elevada da qual você foi erguido por horas incontáveis por professores conscientes. Em razão de nossa experiência passada, você certamente considere todos com desdém que devem pronunciar até mesmo as mais afastadas proposições da Geometria por ser falsa. Mas talvez esse sentimento de orgulhosa certeza abandonou você imediatamente se alguém lhe perguntou: "O que você quer dizer com a afirmação de que essas proposições são verdadeiras?”
A geometria estabelecida forma certas concepções como "plano", "ponto" e "linha reta" com as quais somos capazes de associar ideias mais ou menos definidas, e de certas proposições (axiomas) que, em virtude dessas ideias, estamos inclinados a aceitar como "verdadeiras".
Então, com base em um processo lógico, cuja justificação nos sentimos obrigados a admitir, todas as proposições restantes são mostradas a seguir a partir desses axiomas, ou seja, eles são comprovados. Uma proposição fica correta ("verdadeira") quando é derivada na maneira reconhecida a partir dos axiomas. A questão da "verdade" do assunto dos axiomas geométricos é assim reduzida a uma das "verdades" dos axiomas. Agora faz muito tempo sabe-se que a última pergunta não é apenas irrespondível pelos métodos da geometria, mas que é por si só inteiramente sem significado. Não podemos perguntar se é verdade que apenas uma linha reta passa por dois pontos. Só podemos dizer que a geometria euclidiana lida com coisas chamadas "linhas retas", a cada uma das quais é atribuída à propriedade de ser exclusivamente determinada por dois pontos situados nela. O conceito "verdadeiro" não corresponde às afirmações de geometria pura, porque pela palavra "verdadeiro" acabamos por ter o hábito de designar sempre a correspondência com um objeto "real"; geometria, no entanto, não está preocupada com a relação das ideias envolvidas com objetos de experiência, mas apenas com a ligação lógica dessas ideias entre si.
Não é difícil entender por que, apesar disso, nos sentimos constrangidos a chamar os axiomas da geometria "verdadeiros". Ideias geométricas correspondem a objetos mais ou menos exatos na natureza, e essas últimas são, sem dúvida, a causa exclusiva da gênese dessas ideias.
A geometria deve abster-se de tal percurso, a fim de dar à sua estrutura a maior unidade lógica possível. A prática, por exemplo, de ver à distância duas posições marcadas em um corpo praticamente rígido é algo que se aloja profundamente em nosso hábito de pensamento. Estamos acostumados ainda a considerar três pontos como estando em uma linha reta, se as suas posições aparentes puderem coincidir para observação com um olho, sob escolha adequada do nosso local de observação.
Se, de acordo com nosso hábito de pensar, agora complementamos as proposições de Geometria euclidiana pela proposição única de que dois pontos em um corpo praticamente rígido sempre correspondem à mesma distância (segmento de reta), independentemente de quaisquer alterações da posição a que podemos sujeitar o corpo, as proposições da geometria euclidiana resolvem-se em proposições sobre a possível posição relativa de praticamente corpos rígidos.(1) A geometria que foi complementada dessa maneira deve ser tratada como um ramo da física. Agora podemos legitimamente perguntar sobre a "verdade" das proposições geométricas interpretadas dessa maneira, uma vez que somos justificados em perguntar se essas proposições são satisfeitas com as coisas reais que associamos às ideias geométricas. Em termos menos exatos, podemos expressar isso dizendo que, pela "verdade" de uma proposição geométrica neste sentido, entendemos sua validade para uma construção com regras e bússolas.
É claro que a convicção da "verdade" das proposições geométricas nesse sentido é fundada exclusivamente em experiências bastante incompletas. Por enquanto, assumiremos a “verdade” das proposições geométricas, depois numa fase posterior (na teoria geral da relatividade), veremos que essa "verdade" é limitada e consideraremos a extensão de sua limitação.
Notas de rodapé:
(1) Daqui resulta que um objeto natural está associado também a uma linha reta. Três pontos A, B e C em um corpo rígido fica assim em uma linha reta quando os pontos A e C sendo dados, B é escolhido tal que a soma das distâncias AB e BC seja a mais curta possível. Esta sugestão incompleto será suficiente para o presente objetivo. (retornar ao texto)